Si no te gusta tu nombre de usuario que Youtube te ha dado o simplemente lo quieres hacer y no sabes como, es muy sencillo.
Primeramente tendremos que estar logueados con nuestra cuenta de Youtube a la que queremos cambiar el nombre de usuario.
Una vez hecho ello, tendremos que acceder a dicha URL: https://www.youtube.com/handle
Si lo podemos cambiar, que seguramente si ( a no ser que estés baneado o cosas raras), nos saldrá la siguiente pantalla y simplemente damos a cambiar de identificador:
Ahora, podremos cambiar nuestro nombre, poniendo uno nuevo después del arroba @ y si está disponible nos dejará y si no está disponible, nos saldrá un error como el siguiente:
¡Y ya está!
Si lo prefires ver como se hace en video, aquí lo puedes ver: